令和4年度上期 電験三種 理論 問15 別解 エネルギー保存の法則編
ゲッ電験三種じゃ不平衡Δ-Y変換って出てこないんとちゃうんかい。
と思った方安心してください(ってもう遅いけど…)電力と電圧のベクトル問題と考えると解けるって事で
(a)の問題文を見ると『端子a,b,c から流入する線電流の大きさは等しい』かつ回路図から線間電圧が等しいかつ同じリアクトルが三相共に入っているので、
これは電源側から見ると(I,V,\(\cos\phi\)が三相共に等しい為)平衡回路とみなして良い。
問題文から必要条件を抽出すると。
\[皮相電力:S = \sqrt{3} \times V I = \sqrt{3} \times 200 \times 7.7 \fallingdotseq 2.667 [\mathrm{kVA}]\]
\[無効電力:Q = 1.6 [\mathrm{kvar}]\]
と、ここ迄が問題文から抽出できます。力率\(\cos\phi\)を導くには回路全体の有効電力P
\begin{equation}
\tag{P} P = \sqrt{S^2 - Q^2} = \sqrt{2.667^2 - 1.6^2} \fallingdotseq 2.134 [\mathrm{kW}] \label{power}
\end{equation}
を導いてから、\[力率:\cos\phi = \frac{P}{S} = \frac{2.134}{2.667} \fallingdotseq 0.7999\]
よって(4) 0.8が正解。
(b)の問題に行く前に少し立ち止まって、この電源から見ると平衡回路の等価回路を考えると、
リアクトル＋抵抗の直列回路がY接続になったと思えばその抵抗値(\(R_Y\))は \(P = 3i^2R_Y\)より、Y変換後の1相当たりの抵抗値は
\begin{equation}
\tag{$R_Y$} R_Y = \frac{P}{3i^2} = \frac{2.134 \times 10^3}{3 \times 7.7^2} \fallingdotseq 12.0 [\Omega] \label{b}
\end{equation}
となり一相あたり \(L = 9\,[\Omega]\) と \(R_Y = 12\,[\Omega]\) の直列回路がY結線されたものと言えます。
時間が無く運に任せる場合、式\eqref{b}からRの値は12\([\Omega]\)以下なので答えの選択肢(1),(2)の二択で勝負も有りかと。
不平衡Δ-Y変換が出来る人は12\([\Omega]\)からRに繋がった部分のΔ-Y変換後の数値を引くか、
\(\frac{P}{i^2}-\frac{R_{ab}R_{bc}+R_{bc}R_{ca}+R_{ca}R_{ab}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}
=36 -\frac{(2 \times 2 \times 6 + 2 \times 2)\cancel{\times 100}}{\cancel{20+60+20}}\)で答えが出ます。
不平衡Δ-Y変換を忘れた時にRを導くには不平衡Δ-Y変換を導くより、
別の方法でRを求めた方が面白そうなので
\[式\eqref{power}で導いた有効電力 = 抵抗での消費電力の合計\]が当てはまる値を計算すれば良い。
まず
\begin{equation}
\tag{$P_{Rq}$} 問題文Rでの消費電力 = i^2R = 7.7^2R [\mathrm{W}]\label{c}
\end{equation}
次に60\([\Omega]\)での消費電力を出す前に60\([\Omega]\)に掛かる電圧\(V_{R60}\)を計算すると、
\begin{equation}
\tag{$V_{R60}$} V_{R60} = \sqrt{3} \times (\text{等価回路の}12[\Omega]\text{に掛かる相電圧}) = \sqrt{3} \times 12 \times 7.7 \fallingdotseq 160 [\mathrm{V}] \label{rv}
\end{equation}
よって
\begin{equation}
\tag{$P_{R60}$} 60[\Omega]\text{での消費電力} = \frac{V_{R60}^2}{60} = \frac{160^2}{60} \fallingdotseq 427 [\mathrm{W}]\label{d}
\end{equation}
20\([\Omega]\)での消費電力を出す前に事前に20\([\Omega]\)に掛かる電圧\(V_{R20}\)を計算します。
ややこしいですが式\eqref{rv}から20\([\Omega]\)の抵抗に掛かる電圧は問題文の回路図の向きをベースにするとA相頂上、底辺\(V_{R60}\)の160\([\mathrm{V}]\)の正三角形なので、この正三角形を縦に半分に割る事で、
\(V_{R60}\text{の半分}=80[\mathrm{V}], 160[\mathrm{V}], 80\sqrt{3}\)と\(1:2:\sqrt{3}\)の直角三角形のベクトルを書けます。
ここから
\[V_{R20} = \sqrt{80^2 + (80\sqrt{3} - iR)^2} = \sqrt{6400 + 6400 \times 3 -2 \times 80\sqrt{3} \times 7.7R + (7.7R)^2 }=\sqrt{25600 -160\sqrt{3} \times 7.7R + (7.7R)^2 }\]
よって
\begin{equation}
\tag{$P_{R20}$} 2\text{個の}20[\Omega]\text{での消費電力} = 2 \times \frac{V_{R20}^2}{20} = \frac{\left(\sqrt{25600 -160\sqrt{3} \times 7.7R + (7.7R)^2 }\right)^2}{10}
=2560 -16\sqrt{3} \times 7.7R+\frac{(7.7R)^2}{10} [\mathrm{W}] \label{e}
\end{equation}
以上の事から、\[P = 抵抗の消費電力の合計\]\[\eqref{power} = \eqref{c}+\eqref{d}+\eqref{e}\]
よって\[2134 = 7.7^2R + 427 + 2560 -16\sqrt{3} \times 7.7R+\frac{(7.7R)^2}{10}\]
を解けばいいのですが、変形して２次方程式の解の公式を使うよりせっかく三種なので、
選択肢(1),(2)を代入して確認すれば(2) \(8\,[\Omega]\) と判る。
さらに鳳・テブナンの定理を使って爆速計算を記述しました。
参考文献という体裁のあとがきMathJaxの使い方
電気主任技術者のナレッジノート
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